Question

5．設拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點M為拋物線E上一點，|MF|的最小值為2，若點P為拋物線E上任意一點，A（4，1），則|PA|+|PF|的最小值為（　�。�

• A． 4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 7
• C． 6
• D． 4+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出拋物線的標準方程，得焦點F的坐標，再設點P在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|進而把問題轉化為求|PA|+|PD|取得最小，進而可推斷出當D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，答案可得．

解答 解：由題意，|MF|的最小值為2，
∴$\frac{p}{2}$=2，
∴p=4，
∴拋物線E：y²=8x，
拋物線y²=8x的焦點F的坐標是（2，0 ）；
設點P在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，
當D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，為4-（-2）=6，
故選：C．

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，判斷當D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，是解題的關鍵．