Question

已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分別是棱CC′與BB′上的點(diǎn)，且EC=BC=2FB=2.

（1）求證：平面AEF⊥平面AA′C′C；

（2）求截面AEF與底面ABCD所成二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系, M（0，0，1）F（，0，1）=（，0，0）, MF⊥平面,所以平面AEF⊥平面（2）

【解析】

試題分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，

由條件知：EC=BC=2，F(xiàn)B=1，OA=1，OB=，

從而坐標(biāo)E（0，1，2），F(xiàn)（，0，1）.

（1）連結(jié)AE與交于M，連結(jié)MF，

可得，M（0，0，1），

=（，0，0）.

則MF⊥平面yOz，即MF⊥平面，

所以平面AEF⊥平面.

（2）取EC中點(diǎn)G，得平面MFG∥底面ABCD，

所以只要求面AEF與面MFG所成的二面角即可.

，

即，可見是面AEF與面MFG所成二面角的平面角.

在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=，顯然，所求二面角為.

考點(diǎn)：面面垂直的判定與二面角求解

點(diǎn)評：本題利用向量求解較簡單，坐標(biāo)原點(diǎn)在底面對角線交點(diǎn)處