Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），記a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，T_n=b₁+b₂+…b_n，若T_n＜m（m∈Z），求m的最小值；
（3）求使不等式≥對(duì)一切n∈N^*，均成立的最大實(shí)數(shù)p．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），求出a，b，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的解析式，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用錯(cuò)位相減法求出T_n的表達(dá)式即可求出對(duì)應(yīng)的m的最小值；
（3）先把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式右邊的最小值即可求出最大實(shí)數(shù)p．
解答：解：（1）由題意得，解得，（2分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
（4分）
（2）由（1）得，∴①②①-②得=，∴，（7分）
設(shè)，則由
得隨n的增大而減小，T_n隨n的增大而增大．∴當(dāng)n→+∞時(shí)，T_n→3
又T_n＜m（m∈Z）恒成立，∴m_min=3（10分）
（3）由題意得恒成立
記，則（12分）∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是隨n的增大而增大F（n）的最小值為，∴，即（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題的第二問(wèn)考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．