Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），h（x）=1-x-xlnx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求h（x）的最大值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而得到最值；
（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，得f（1）=$\frac{1}{e}$，
f′（x）=$\frac{1-x-xlnx}{x{e}^{x}}$，所以k=f′（1）=0，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=$\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）h（x）=1-x-xlnx，x＞0．
所以h′（x）=-lnx-2．                                    
令h′（x）=0得，x=e^-2．
因此當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
所以h（x）在x=e^-2處取得極大值，也是最大值．
h（x）的最大值為h（e^-2）=1+e^-2．
（Ⅲ）證明：因?yàn)間（x）=xf′（x），所以g（x）=$\frac{1-x-xlnx}{{e}^{x}}$，
x＞0，g（x）＜1+e^-2等價(jià)于1-x-xlnx＜e^x（1+e^-2）．
由（Ⅱ）知h（x）的最大值為h（e^-2）=1+e^-2，故1-x-xlnx≤1+e^-2，
只需證明x＞0時(shí)，e^x＞1成立，這顯然成立．
所以1-x-xlnx≤1+e-2＜e^x（1+e^-2）．
因此對(duì)任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．