Question

【題目】已知函數(shù)，其中均為實數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)．

（I）求函數(shù)的極值；

（II）設(shè)，若對任意的，

恒成立，求實數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時， 取得極大值，無極小值；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題對 得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時， 取得極大值，無極小值；

（2）由題當(dāng)時， ，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，

由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，

則等價于，

即，

故又構(gòu)造函數(shù)，

可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

∴，設(shè)

則，

∵，

∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，

∴在區(qū)間上的最大值，∴，

試題解析：（1）由題得， ，

令，得．，

列表如下：

		1
	大于0	0	小于0
		極大值

∴當(dāng)時， 取得極大值，無極小值；

（2）當(dāng)時， ，

∵在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)，

設(shè)，

∵在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，

則等價于，

即，

設(shè)，

則在區(qū)間上為減函數(shù)，

∴在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上恒成立，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，

∴在區(qū)間上的最大值，∴，

∴實數(shù)的最小值為．