Question

當(dāng)α∈（0°，180°）變化時(shí)，方程x²sinα+y²cosα=1表示的曲線的形狀怎樣變換？

Answer 1

分析：根據(jù)sinα，cosα的符號(hào)，對(duì)角α分五類進(jìn)行討論，由直線、圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體類型．

解答：解：當(dāng)α≠90°時(shí)，∵x²sinα+y²cosα=1，∴

x2

1 sinα

+

y2

1 cosα

=1．
（1）當(dāng)0⁰＜α＜45⁰時(shí)，0＜sinα＜cosα，曲線是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；（3分）
（2）當(dāng)α=45⁰時(shí)，sinα=cosα=

2

2

，曲線是圓；（2分）
（3）當(dāng)45⁰＜α＜90⁰時(shí)，sinα＞cosα＞0，曲線是焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓；（3分）
（4）當(dāng)α=90⁰時(shí)，方程為x=±1，曲線是兩條直線；（2分）
（5）90⁰＜α＜180⁰時(shí)，sinα＞0，cosα＜0，曲線是焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線．（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程含有參數(shù)時(shí)討論表示的曲線問題，需要根據(jù)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，分別再由圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體形狀，考查了分類討論思想．