Question

【題目】如圖所示的四棱錐中，底面為矩形，平面，，M，N分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點E，連接，，利用平行四邊形可證，由知，可證，故可證；

（2）根據即為直線與平面所成的角，可求出，分別以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的大小即可.

（1）證明：取中點E，連接，，

因為M，N，E分別為，，的中點，

，，

所以是平行四邊形，故，

因為，所以

又因為，，

，所以平面.

因為，E為中點，所以，

所以，

所以；.

（2）因為，所以為在平面內的射影，

所以即為直線與平面所成的角，

則，即，

因為，，

分別以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則，，，則，，

設平面的法向量，

則，即，取，則，，即，

取平面的法向量，

所以，

由圖可知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.