Question

焦點分別為（0，5）和（0，-5）的橢圓截直線y=3x-2所得橢圓的弦的中點的橫坐標為，求此橢圓方程．

Answer 1

解：由題意可設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），
∵c=5
∴a²-b²=50①
把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
設(shè)弦的兩個端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，

由中點坐標公式可得，
∴a²=3b²②
聯(lián)立①②可得，a²=75，b²=25
∴橢圓方程為
分析：根據(jù)焦點坐標得出a²-b²=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點的橫坐標的表達式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．注意本題還金額以考慮利用點差法進行求解