Question

已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）兩角差的余弦公式化簡f（x）為

2

cos(2x+

π

4

)，由2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ 解得x的范圍，即得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；由2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，求得x的范圍，
即得f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍求得角2x+

π

4

的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域 求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

π

4

)，
令2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，則kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

](k∈z)．
令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，則kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，故單調(diào)減區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈z)．
（2）因為0≤x≤

π

2

，所以

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

．
當2x+

π

4

=

π

4

，即x=0時cos(2x+

π

4

)取得最大值

2

2

；
當2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

時cos(2x+

π

4

)取得最小值-1．
所以f（x）在[0，

π

2

]上的最大值為1，最小值為-

2

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應用，二倍角公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．