Question

直角坐標(biāo)平面上，為原點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，，. 過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)作軸于點(diǎn)，. 記點(diǎn)的軌跡為曲線，

點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)、（點(diǎn)在與之間）.

（1）求曲線的方程；

（2）是否存在直線，使得，并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）不存在直線l，使得|BP|=|BQ|

【解析】

試題分析：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M₁的坐標(biāo)為（0，），

，于是點(diǎn)N的坐標(biāo)為，N₁的坐標(biāo)

為，所以   

由

由此得   

由

即所求的方程表示的曲線C是橢圓.       

(Ⅱ)點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C

無(wú)交點(diǎn)，所以直線l斜率存在，并設(shè)為k. 直線l的方程為    

由方程組

依題意   

當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)PQ的中點(diǎn)為，

則

 

又     

而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|.  

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．當(dāng)涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，常需要把直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求得答案．