Question

如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P是以A為圓心，AB為半徑的圓弧BD上的任意一點，設∠PAB=θ，向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），若μ-λ=1，則θ=

 

．

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，建立直角坐標系．不妨設正方形ABCD的邊長為1．則A（0，0），D（0，1），C（1，1），P（cosθ，sinθ），E(

1

2

，0)．由于向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），又μ-λ=1，可得

AC

=λ

DE

+(1+λ)

AP

，化為

PC

=λ(

DE

+

AP

)．再利用向量共線定理即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標系．
不妨設正方形ABCD的邊長為1．
則A（0，0），D（0，1），C（1，1），P（cosθ，sinθ），E(

1

2

，0)．
∴

PC

=(1-cosθ，1-sinθ)，

DE

=(

1

2

，-1)，

AP

=（cosθ，sinθ）．

DE

+

AP

=(

1

2

+cosθ，-1+sinθ)．
∵向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），又μ-λ=1，
∴

AC

=λ

DE

+(1+λ)

AP

，化為

PC

=λ(

DE

+

AP

)．
∴（1-cosθ）（-1+sinθ）-(1-sinθ)(

1

2

+cosθ)=0，
化為sinθ=1，
∵θ∈[0°，90°]，∴θ=90°．
故答案為：90°．

點評：本題考查了向量的坐標運算和向量共線定理，屬于基礎題．