Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈[－1,1]，函數(shù)的最小

  值為h(a)．

  (1)求h(a)的解析式；（7分）

  (2)是否存在實數(shù)m，n同時滿足下列兩個條件：①m>n>3；②當h(a)的定義域

  為[n，m]時，值域為[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．（14分）

Answer 1

解：(1)由f(x)＝^x，x∈[－1,1]，知f(x)∈，令t＝f(x)∈

記g(x)＝y＝t²－2at＋3，則g(x)的對稱軸為t＝a，故有：

①當a≤時，g(x)的最小值h(a)＝－，         

②當a≥3時，g(x)的最小值h(a)＝12－6a，      

③當<a<3時，g(x)的最小值h(a)＝3－a²                 

綜上所述，h(a)＝                

(2)當a≥3時，h(a)＝－6a＋12，故m>n>3時，h(a)在[n，m]上為減函數(shù)，

所以h(a)在[n，m]上的值域為[h(m)，h(n)]．

由題意，則有，兩式相減得6n－6m＝n²－m²，又m≠n，所以m＋n＝6，這與

m>n>3矛盾，故不存在滿足題中條件的m，n的值.