Question

19．設x，y是正實數(shù)，且x+y=3，則$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$的最小值是$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$=$\frac{（3-x）^{2}}{x+1}+\frac{（3-y）^{2}}{y+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-8（x+1）+16}{x+1}+\frac{（y+1）^{2}-8（y+1）+16}{y+1}$，分離之后結合基本不等式即可求解

解答 解：∵x+y=3，x＞0，y＞0
∴$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$=$\frac{（3-x）^{2}}{x+1}+\frac{（3-y）^{2}}{y+1}$=$\frac{{x}^{2}-6x+9}{x+1}+\frac{{y}^{2}-6y+9}{y+1}$
=$\frac{（x+1）^{2}-8（x+1）+16}{x+1}+\frac{（y+1）^{2}-8（y+1）+16}{y+1}$
=x+1$+\frac{16}{x+1}-8$+y+1+$\frac{16}{y+1}$-8
=-11+16（$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}$）
=-11+$\frac{16}{5}$（$\frac{x+1+（y+1）}{x+1}$$+\frac{x+1+（y+1）}{y+1}$
=-11$+\frac{16}{5}$（2$+\frac{y+1}{x+1}+\frac{x+1}{y+1}$）$≥-11+\frac{16}{5}（2+2\sqrt{\frac{y+1}{x+1}•\frac{x+1}{y+1}}$）=$\frac{9}{5}$
當且僅當$\frac{x+1}{y+1}=\frac{y+1}{x+1}$即x=y=$\frac{3}{2}$時取等號
故答案為：$\frac{9}{5}$

點評 本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應用解題的關鍵是對已知式在進行化簡，配湊基本不等式成立的條件