Question

4．函數(shù)f（x）=|e^x-bx|，其中e為自然對數(shù)的底．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）記g（x）=e^x-bx，當(dāng)b=1時(shí)，g′（x）=e^x-1，從而可得f′（1）=g′（1）=e-1，由此可求切線方程；
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個(gè)解，即方程e^x-bx=0有且只有一個(gè)解，因?yàn)閤=0不滿足方程，所以方程同解于b=$\frac{{e}^{x}}{x}$，分類討論可得當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程有且只有一解等價(jià)于b=e；當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，方程有且只有一解等價(jià)于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍．

解答 解：（1）記g（x）=e^x-bx．
當(dāng)b=1時(shí)，g′（x）=e^x-1．
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
又g（0）=1＞0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＞0．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=|g（x）|=g（x），
所以f′（1）=g′（1）=e-1．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，e-1）處的切線方程為：y-（e-1）=（e-1）（x-1），
即y=（e-1）x．  
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個(gè)解，
即方程e^x-bx=0有且只有一個(gè)解．
因?yàn)閤=0不滿足方程，所以方程同解于b=$\frac{{e}^{x}}{x}$．  
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，由h′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$=0得x=1．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程b=$\frac{{e}^{x}}{x}$有且只有一解等價(jià)于b=e．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=$\frac{{e}^{x}}{x}$有且只有一解等價(jià)于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求切線方程和函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．