Question

（2012•吉林二模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（I）當(dāng)m=5時(shí)，求f（x）＞0的解集；
（II）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)m=5時(shí)，原不等式可化為|x+1|+|x-2|＞5，分三種情況去絕對(duì)值，對(duì)不等式加以討論，最后綜合即得到f（x）＞0的解集；
（II）關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得|x+1|+|x-2|的最小值3大于或等于m+2，由此可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)m=5時(shí)，原不等式可化為：|x+1|+|x-2|＞5，
①

x≥2 x+1+x-2＞5

，解之，得x＞3；
②

1≤x＜2 x+1-x+2＞5

，解之，得不存在符合題意的實(shí)數(shù)x；
③

x＜1 -x-1-x+2＞5

，解之，得x＜-2
綜上所述，當(dāng)m=5時(shí)，f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（3，+∞）                     …（5分）
（II）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|＞m+2，
∵x∈R時(shí)，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴要使不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 解集是R，必定有m+2≤3，即m≤1
由此可得：m的取值范圍是（-∞，1）．                        …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的函數(shù)，討論不等式f（x）＞m（m是常數(shù)）的解集的問(wèn)題，著重考查了絕對(duì)值的定義與性質(zhì)和不等式恒成立問(wèn)題的處理方法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．