Question

10．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PA，PB，BC的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大��；
（Ⅲ）線段PD上是否存在一個動點M，使得直線GM與平面EFG所成角為$\frac{π}{6}$，若存在，求線段PM的長度，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明EF⊥平面PAD；
（Ⅱ）建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大��；
（Ⅲ）求出向量坐標，利用直線和平面所成角的定義和關系進行求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD，（2分）
又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（3分）
（Ⅱ）取AD中點O，連結PO∵平面PAD⊥平面ABCD，
PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，（4分）
如圖以O點為原點分別以OG、OD、OP所在直線為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系：
∴O（0，0，0）A（0，-2，0）B（4，-2，0）C（4，2，0），
D（0，2，0），G（4，0，0），$P（0，0，2\sqrt{3}）$，E（0，-1，$\sqrt{3}$）$F（2，-1，\sqrt{3}）$$\overrightarrow{EF}=（2，0，0），\overrightarrow{EG}=（4，1，-\sqrt{3}）$，
設平面EFG的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，$\left\{{\begin{array}{l}{2x=0}\\{4x+y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，
∴$\overrightarrow m=（0，\sqrt{3}，1）$，
（6分）
又平面ABCD的法向量為$\overrightarrow n=（0，0，1）$，（7分）
設平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為θ∴$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{m•}\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{2}$，
∴平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為$\frac{π}{3}$．（9分）
（Ⅲ）設$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}，λ∈[{0，1}]$，$\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{GP}+λ\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{GM}=（-4，2λ，2\sqrt{3}（1-λ））$，（10分），
∴$sin\frac{π}{6}=|{cos\left?{\overrightarrow{GM}，\overrightarrow m}\right＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{GM}•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow{GM}}|•|{\overrightarrow m}|}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{16+4{λ^2}+12{{（1-λ）}^2}}}}=\frac{1}{2}$，（12分）
即2λ²-3λ+2=0，無解，∴不存在這樣的M．（13分）

點評 本題主要考查空間面面垂直的判定以及二面角和線面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關鍵．