Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分別為A1C1和BC的中點(diǎn)，M，N分別為A1B和A1C的中點(diǎn).求證：

（1）MN∥平面ABC；

（2）EF∥平面AA1B1B.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）推導(dǎo)出MN∥BC，由此能證明MN∥平面ABC.

（2）取A1B1的中點(diǎn)D，連接DE，BD.推導(dǎo)出四邊形DEFB是平行四邊形，從而EF∥BD，由此能證明EF∥平面AA1B1B.

證明：（1）∵M、N分別是A1B和A1C中點(diǎn).

∴MN∥BC，

又BC平面ABC，MN平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

（2）如圖，取A1B1的中點(diǎn)D，連接DE，BD.

∵D為A1B1中點(diǎn)，E為A1C1中點(diǎn)，

∴DE∥B1C1且，

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是平行四邊形，

∴BC∥B1C1且BC＝B1C1，∵F是BC的中點(diǎn)，∴BF∥B1C1且，

∴DE∥BF且DE＝BF，∴四邊形DEFB是平行四邊形，∴EF∥BD，

又BD平面AA1B1B，EF平面AA1B1B，

∴EF∥平面AA1B1B.