Question

已知函數(shù)．
（I）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處切線的斜率；
（II）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)m=1，我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點斜式方程即可得到答案．
（2）由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)值為0，我們則求出導函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）當a=2時，，
f′（x）=2x²-3+，故f′（2）=．
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率為．
（2）f′（x）=ax²-（a+1）+．
令f′（x）=0，解得x=1，或x=．
因為a＞0，x＞0．
①當0＜a＜1時，
若x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若x∈（1，）時，f′（x）0，＜函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
若x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當a=1時，
若x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
③當a＞1時，
若x∈（0，）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若x∈（，1）時，f′（x）0，＜函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
若x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式求出導函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．