Question

3．如圖所示，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F(xiàn)是BC的邊的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面EAB；
（2）求二面角E-BD-F的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GF，通過(guò)中位線定理可得四邊形DEGF是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，利用法向量求出二面角E-BD-F的余弦值，再根據(jù)平方關(guān)系即得結(jié)論．

解答 （1）證明：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GF，
∵GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，且ED∥AC，ED=$\frac{1}{2}$AC，
∴GF∥FD，且GF=ED，
∴四邊形DEGF是平行四邊形，∴DF∥GE，
又∵GE?平面EAB，DF?平面EAB，
∴DF∥平面EAB；
（2）解：以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖，
取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，則EM⊥AC，
在Rt△EAM中，EA=2a，AM=a，
∴EM=$\sqrt{3}$a，∴DC=$\sqrt{3}$a，
故A（0，0，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），
D（0，2a，$\sqrt{3}$a），E（0，a，$\sqrt{3}$a），F(xiàn)（a，a，0），
∴$\overrightarrow{EB}$=（2a，-a，-$\sqrt{3}$a），$\overrightarrow{ED}$=（0，a，0），
設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2a{x}_{1}-a{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{a{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），
又$\overrightarrow{FB}$=（a，-a，0），$\overrightarrow{FD}$=（-a，a，$\sqrt{3}$a），
設(shè)平面FBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a{x}_{2}-a{y}_{2}=0}\\{-a{x}_{2}+a{y}_{2}+\sqrt{3}a{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令x₂=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$，
∴二面角E-BD-F的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{42}}{14}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{154}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面關(guān)系及面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．