Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且3S_n=a_na_n+1，則

n

i=1

a2k=（　�。�

• A、

  n(n+5)

  2

• B、

  3n(n+1)

  2

• C、

  n(5n+1)

  2

• D、

  (n+3)(n+5)

  2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：3S_n=a_na_n+1⇒3S_n+1=a_n+1a_n+2，兩式相減，易得數(shù)列{a_2n}是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，從而可求得a_2n的解析式，繼而可求則

n

i=1

a2k的值．

解答： 解：∵3S_n=a_na_n+1，
∴3S_n+1=a_n+1a_n+2，
兩式相減得：3a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n+1＞0，
∴a_n+2-a_n=3，又3a₁=a₁•a₂，
∴a₂=3，
∴數(shù)列{a_2n}是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
∴a_2n=3+（n-1）×3=3n．
∴

n

i=1

a2k=a₂+a₄+…+a_2n=

(3+3n)n

2

=

3n(n+1)

2

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．