Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

x

+2，已知f（x）的圖象與y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱．
（1）求g（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）-2a≥0（其中a是常數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，設(shè)P（x，y）為y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)，然后，求解點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)p'，最后借助于函數(shù)f（x）的解析式，確定函數(shù)g（x）的解析式；
（2）先化簡(jiǎn)給定的解析式，然后，針對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，注意討論時(shí)，“不重不漏”．

解答： 解．（1）設(shè)（x，y）為y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)，
∵f（x）的圖象與y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，
∴x+1=

1

y-1

+2，整理得y=

x

x-1

，即g（x）=

x

x-1

 （x≠1_^） 
（2）不等式f（x）-2a≥0?

(2a-1)x-2a

x-1

≤0，
①當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，不等式的解集為（1，

2a

2a-1

]，
②當(dāng)a=

1

2

時(shí)，不等式的解集為（1，+∞），
③當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，不等式的解集為（-∞，

2a

2a-1

]∪（1，+∞），
綜上所述，①當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，不等式的解集為（1，

2a

2a-1

]，
②當(dāng)a=

1

2

時(shí)，不等式的解集為（1，+∞），
③當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，不等式的解集為（-∞，

2a

2a-1

]∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的解析式的求解方法，函數(shù)的性質(zhì)及其靈活應(yīng)用，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．