Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=1，=16，單調(diào)增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（）．
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）令（），求使得的所有n的值，并說(shuō)明理由．
（3） 證明中任意三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

解：（1）∵=，
∴=4，
∵，
∴q=2，
∴
∴b₃=＝8.  
∵+2①
當(dāng)n≥2時(shí)，+2 ②
①-②得
即
∵
∴=3，
∴是公差為3的等差數(shù)列．
當(dāng)n＝1時(shí)，+2，解得=1或=2，
當(dāng)=1時(shí)，，此時(shí)=7，與矛盾；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)此時(shí)=8=，
∴．
（2）∵，
∴＝，
∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，
下面證明當(dāng)n≥5時(shí)，
事實(shí)上，當(dāng)n≥5時(shí)，＝＜0即，
∵<1  
∴當(dāng)n≥5時(shí)，，
故滿足條件的所有n的值為1，2，3，4．
(3)假設(shè)中存在三項(xiàng)p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使a_p, a_q, a_r構(gòu)成等差數(shù)列，
∴ 2a_q=a_p+a_r，即2·2^q-1=2^p-1+2^r-1．
∴2^q-p+1=1+2^r-p．
因左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾．
∴假設(shè)不成立，
故不存在任意三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列．