Question

【題目】已知定點(diǎn)和直線上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（I）求曲線的方程；

（II）直線交軸于點(diǎn)，交曲線于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)題意分析可知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程；（II）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消去得：，設(shè)，，則，，點(diǎn)，由知，則，若三點(diǎn)共線，則應(yīng)有，即驗(yàn)證即可.

試題解析：（I）由題意可知：，即點(diǎn)到直線和點(diǎn)的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知：的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn). ……………………………3分

設(shè)的軌跡方程為：

所以的軌跡方程為：. ……………………………5分

（II）由條件可知，則. ……………………………6分

聯(lián)立，消去得，

. …………………………… 7分

設(shè)，則

…………………………… 9分

因?yàn)?/span> …………………………… 10分

…………………………… 11分

所以三點(diǎn)共線. …………………………… 12分