Question

7．已知$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-1≥0}\\{2x-y≥-3}\\{4x-y≤2}\end{array}\right.$，問x，y取何值時(shí)，函數(shù)z=x²+y²取得最大值和最小值？并求出最值．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由圖象知原點(diǎn)到直線3x+y-1=0的距離最小，此時(shí)d=$\frac{|-1|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$，z的最小值為z=d²=$\frac{1}{10}$．
原點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最大，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=-3}\\{4x-y=2}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（$\frac{5}{2}$，8），
此時(shí)z=（$\frac{5}{2}$）²+8²=$\frac{281}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．