Question

設(shè)雙曲線(xiàn)C：－y²＝1(a＞0)與直線(xiàn)l：x＋y＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B．

(1)求雙曲線(xiàn)C的離心率e的取值范圍；

(2)設(shè)直線(xiàn)l與y軸的交點(diǎn)為P，取＝，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將y＝－x＋1代入雙曲線(xiàn)－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0．① 　　∴ 　　解之，得0＜a＜且a≠1． 　　又雙曲線(xiàn)的離心率e＝， 　　∵0＜a＜，且a≠1， 　　∴e＞且e≠． 　　(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)， 　　∵＝， 　　∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 　　由此得x1＝x2． 　　由于x1、x2是方程①的兩根，且1－a2≠0， 　　∴x2＝，x22＝． 　　消去x2得，由a＞0得a＝． 　　解析：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程是必須的，第(1)問(wèn)利用△＞0可得a的范圍，再寫(xiě)出離心率關(guān)于a的表達(dá)式，可求出離心率的范圍；第(2)問(wèn)由韋達(dá)定理及向量坐標(biāo)關(guān)系，可得到關(guān)于a的方程，解出a即可．