Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=x-lnx，其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ） 求曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程；
（II）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）設(shè)函數(shù)u（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\end{array}}$若u（x）=f（x）對(duì)任意x∈[1，e]均成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程；
（II）求出當(dāng)a=1時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，求得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（III）由題意可得f（x）≥g（x）對(duì)任意x∈[1，e]均成立，即為x+$\frac{a}{x}$≥x-lnx，運(yùn)用參數(shù)分離，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=x-lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線斜率為k=g′（1）=0，
切點(diǎn)為（1，1），
則曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為y=1；
（II）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=2x-lnx+$\frac{1}{x}$，
導(dǎo)數(shù)h′（x）=2-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
由h′（x）＞0可得x＞1；由h′（x）＜0可得0＜x＜1．
則h（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
（III）由題意可得f（x）≥g（x）對(duì)任意x∈[1，e]均成立，
即為x+$\frac{a}{x}$≥x-lnx，
即有a≥-xlnx，
令y=-xlnx，x∈[1，e]，
則y′=-（1+lnx）＜0，
即有y=-xlnx在[1，e]遞減，
則y=-xlnx的最大值為0，
則a≥0，由a∈R且a≠0．
即有a＞0．
則a的取值范圍是（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查不等式恒成立問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離，函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．