Question

【題目】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)AP和BP分別與直線(xiàn)x=3交于點(diǎn)M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（I）（II）存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

試題（1）利用直接法設(shè)，利用直線(xiàn)與的斜率之積等于，得到關(guān)于的方程，求得其軌跡方程；（2）根據(jù)題意設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求得和的面積，利用，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

試題解析：（1）點(diǎn)的軌跡方程為； 5分

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則直線(xiàn)的方程為，

直線(xiàn)的方程為．

令，得，

于是的面積， 8分

直線(xiàn)的方程為，，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

于是的面積， 10分

當(dāng)時(shí)，得，

又，所以，解得，

因?yàn)?/span>，所以，

故存在點(diǎn)使得與的面積相等，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為． 12分