Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝aln x＋ (a∈R)．

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值；

(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

(3)求證ln(n＋1)> ＋＋＋…＋ (n∈N*)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ln x＋，定義域?yàn)?0，＋∞)．

因?yàn)閒′(x)＝－＝>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值為f(1)＝1.

(2)f′(x)＝－＝，因?yàn)閒(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f′(x)<0有正數(shù)解，即ax2＋2(a－1)x＋a<0有正數(shù)解．

①當(dāng)a＝0時(shí)，明顯成立．

②當(dāng)a<0時(shí)，h(x)＝ax2＋2(a－1)x＋a是開口向下的拋物線，所以ax2＋2(a－1)x＋a<0有正數(shù)解．

③當(dāng)a>0時(shí)，h(x)＝ax2＋2(a－1)x＋a是開口向上的拋物線，即方程ax2＋2(a－1)x＋a＝0有正根．

因?yàn)閤1x2＝1>0，所以方程ax2＋2(a－1)x＋a＝0有兩正根，

所以解得0<a<.

綜合①②③知，a<.

(3)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，ln(n＋1)＝ln 2，

∵3ln 2＝ln 8>1，∴l(xiāng)n 2>，即當(dāng)n＝1時(shí)，不等式成立．

設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ln(k＋1)> ＋＋…＋成立．

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ln(n＋1)＝ln(k＋2)＝ln(k＋1)＋ln>＋＋…＋＋ln.

根據(jù)(1)的結(jié)論可知，當(dāng)x>1時(shí)，ln x＋>1，即ln x>.

令x＝，所以ln>，則有l(wèi)n(k＋2)> ＋＋…＋＋，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．

綜上可知不等式成立．