Question

已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)P，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；

（Ⅲ）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)作直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)的斜率為時(shí)，直線 上是否存在點(diǎn)M，使若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使

解析:

（Ⅰ）

直線與圓相切，

.    橢圓的方程是………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，設(shè)，，

化簡(jiǎn)得： 點(diǎn)M的軌跡的方程為

.………6分

（Ⅲ）直線的方程為，代入得.

由韋達(dá)定理得，設(shè)

設(shè)直線上存在點(diǎn)M（），使得，則，

，

，準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使.………12分