Question

對于函數(shù),若存在實數(shù)對(),使得等式對定義域中的每一個都成立,則稱函數(shù)是“()型函數(shù)”.

(1) 判斷函數(shù)是否為 “()型函數(shù)”，并說明理由；

(2) 若函數(shù)是“()型函數(shù)”,求出滿足條件的一組實數(shù)對；

(3)已知函數(shù)是“()型函數(shù)”,對應(yīng)的實數(shù)對為(1,4).當(dāng) 時,,若當(dāng)時,都有,試求的取值范圍.

 

Answer 1

(1) 不是“()型函數(shù)”，理由詳見解析；(2) （答案不唯一）（3）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由給出的定義可知 展開后的方程中如果不含x說明對任意x都成立，則函數(shù)是“()型函數(shù)” ，如果展開后的方程含x,則根據(jù)方程只能求出某個或某些x滿足要求而不是每一個x都符合，則函數(shù)不是“()型函數(shù)(Ⅱ)根據(jù)定義列出方程 ，滿足方程的實數(shù)對應(yīng)有無數(shù)對，只取其中一對就可以。(Ⅲ)難度系數(shù)較大，應(yīng)先根據(jù)題意分析出當(dāng)時, ，此時 。根據(jù)已知時,,其對稱軸方程為。屬動軸定區(qū)間問題需分類討論，在每類中得出時的值域即的值域，從而得出時的值域，把兩個值域取并集即為的的值域，由可知的值域是的子集，列出關(guān)于m的不等式即可求解。

試題解析：【解析】
(1) 不是“()型函數(shù)”，因為不存在實數(shù)對使得，

即對定義域中的每一個都成立；

(2) 由,得,所以存在實數(shù)對,

如,使得對任意的都成立；

(3)由題意得,,所以當(dāng)時, ,其中,而時,,其對稱軸方程為.

當(dāng),即時,在上的值域為,即,則在上 的值域為,由題意得,從而；

當(dāng),即時,的值域為,即,則在 上的值域為,則由題意,得

且,解得；

當(dāng),即時,的值域為,即,則在上的值域為,即,則,解得.

綜上所述,所求的取值范圍是.

考點：對新概念的理解能力，以及動軸定區(qū)間求二次函數(shù)的值域問題。