Question

設(shè)A、B分別為雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右兩個(gè)頂點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn), |AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°.

(1)求雙曲線的方程;

(2)設(shè)M為(1)中雙曲線上任一動(dòng)點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作直線l₁,使得l₁⊥BM,過(guò)A點(diǎn)作直線l₂,使得l₂⊥AM,l₁、l₂相交于點(diǎn)N,求點(diǎn)N的軌跡方程.

Answer 1

解:(1)∵|AB|=4,

∴2a=4,即a=2.

過(guò)P點(diǎn)作PC⊥x軸,C為垂足.

在△ABP中,

∵|AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°,

∴∠PBC=2∠PAB=60°.

∴|PC|=|PB|·sin60°=2.

∴P(4,2).

又∵點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn),則=1.

∴b²=4.

故所求雙曲線的方程為-=1.

(2)設(shè)M(x₀,y₀)、N(x,y).∵A(-2,0)、B(2,0),

NB⊥MB,NA⊥MA,

∴

由（1）×（2）得=1.                                              （3）

又∵M(jìn)(x₀,y₀)在雙曲線上,

∴=1.∴=1.代入（3）中,

得=1,即x²-y²=4.

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)(-2,0)、(2,0)不符合題意.

故N點(diǎn)軌跡方程為x²-y²=4(x≠±2).