Question

已知函數(shù)，
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
(Ⅱ)設(shè)m，n∈R⁺，且m≠n，求證：。

Answer 1

(Ⅰ)解：，
因?yàn)閒（x）在(0，+∞)為單調(diào)增函數(shù)，
所以f′(x)≥0在（0，十∞）上恒成立，即x²+(2-2a)x+l≥0在(0，+∞)上恒成立，
當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，由x²+(2-2a)x+l≥0，
得，
設(shè)，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，所以，a≤2，
所以a的取值范圍是(-∞，2]。
(Ⅱ)不妨設(shè)m＞n＞0，則，
要證，只需證，
即證，只需證，
設(shè)，
由(Ⅰ)知，h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
又，
所以，，即成立，
所以，。