Question

7．在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1：3，分數(shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎，按文理科用分層抽樣的方法共抽取200人的成績作為樣本，得到成績的2×2列聯(lián)表．
（1）填寫下面的2×2列聯(lián)表，問能否有超過95%的把握認為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”？
（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從參賽學(xué)生中，任意抽取3名學(xué)生，記“獲獎”學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

	文科生	理科生	合計
獲獎	5
不獲獎		115
合計			200

附表及公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算K²，對照臨界值得出結(jié)論；
（2）由表中數(shù)據(jù)知抽到1名同學(xué)獲獎的概率值，且隨機變量X～B（3，$\frac{1}{5}$），
計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，填寫2×2列聯(lián)表如下；

	文科生	理科生	合計
獲獎	5	35	40
不獲獎	45	115	160
合計	50	150	200

計算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{200{×（5×115-45×35）}^{2}}{50×150×40×160}$≈4.167＞3.841，
∴有超過95%的把握認為“獲獎與學(xué)生的文理科有關(guān)”；
（2）由表中數(shù)據(jù)可知，抽到1名同學(xué)獲獎的概率為$\frac{1}{5}$，
且“獲獎”學(xué)生人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3；
則X～B（3，$\frac{1}{5}$），
∴P（X=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{1}{5}）}^{k}$•${（\frac{4}{5}）}^{3-k}$，其中k=0，1，2，3；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

數(shù)學(xué)期望為EX=np=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計算問題，是中檔題．