Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=ax-lnx，所以f′(x)=a-

1

x

．因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0平行，所以切線的斜率k=1．由此能求出實(shí)數(shù)a．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，再由實(shí)數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=ax-lnx，
所以f′(x)=a-

1

x

．
因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0平行，
所以切線的斜率k=1．
所以f'（1）=1，即a-1=1．
所以a=2．…..（4分）
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
且f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
…..（6分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．…..（8分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，x=

1

a

．
所以當(dāng)a∈(0 ，

1

a

)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在(0 ，

1

a

)上是減函數(shù)；
…..（10分）
當(dāng)a∈(

1

a

  ，+∞)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在(

1

a

  ，+∞)上是增函數(shù)．
…..（12分）
所以當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是(0 ，

1

a

)，
f（x）的遞增區(qū)間是(

1

a

  ，+∞)．…..（13分）

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．解題時(shí)要認(rèn)真題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、切線方程和單調(diào)性等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．