Question

如圖，點A、B是單位圓O上的兩點，點C是圓O與x軸的正半軸的交點，將銳角α的終邊OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

3

到OB．
（1）若點A的坐標(biāo)為（

3

5

，

4

5

），求

1+sin2α

1+cos2α

的值；
（2）用α表示|BC|，并求|BC|的取值范圍．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義可得，cosα 和sinα 的值，再利用二倍角公式求得sin2α 和 cos2α的值，可得

1+sin2α

1+cos2α

的值．
（2）由題意可得，|OC|=|OB|=1，∠COB=α+

π

3

，由余弦定理可得|BC|² 的解析式．根據(jù)α∈（0，

π

2

），利用余弦函數(shù)的定義域有和值域求得|BC|的范圍．

解答： 解：（1）由已知可得，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

．
∴sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=2cos²α-1=-

7

25

，

1+sin2α

1+cos2α

=

1+ 24 25

1+(- 7 25 )

=

49

18

．
（2）由題意可得，|OC|=|OB|=1，∠COB=α+

π

3

，由余弦定理可得
|BC|²=|OC|²+|OB|²-2|OB||OC|cos∠COB=1+1-2cos（α+

π

3

）=2-2cos（α+

π

3

）．
∵α∈（0，

π

2

），∴α+

π

3

∈（

π

3

，

5π

6

），∴cos（α+

π

3

）∈（-

3

2

，

1

2

），
∴|BC|²∈（1，2+

3

），
∴|BC|∈（1，

6 + 2

2

）．

點評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦定理、二倍角公式、余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．