Question

2．如圖所示，兩個非共線向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，M、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則x²+y²的最小值為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)C、M、N共線，可得$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OM}+μ\overrightarrow{ON}$，且λ+μ=1，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}λ\overrightarrow{OM}$+$\frac{1}{2}μ\overrightarrow{OC}$，即$x+y=\frac{1}{2}（λ+μ）=\frac{1}{2}$．由$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}≥（\frac{x+y}{2}）^{2}=（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{16}$．即可求解

解答 解：因為點(diǎn)C、M、N共線，所以$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OM}+μ\overrightarrow{ON}$，且λ+μ=1，
又因為M、N分別為OA與OB的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}λ\overrightarrow{OM}$+$\frac{1}{2}μ\overrightarrow{OC}$．，
∴$x+y=\frac{1}{2}（λ+μ）=\frac{1}{2}$．
由$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}≥（\frac{x+y}{2}）^{2}=（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{16}$．
可得x²+y²$≥\frac{1}{8}$，當(dāng)x=y=$\frac{1}{4}$時，取等號．
故答案為：$\frac{1}{8}$

點(diǎn)評 題主要考查了平面向量的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是向量共線定理的應(yīng)用及結(jié)論“點(diǎn)C、M、N共線，所以$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OM}+μ\overrightarrow{ON}$，且λ+μ=1“的應(yīng)用，屬于中檔題．