Question

   已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

【解析】

 

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域是 

∴                      …………2分    

 令，即，解得或．

 ，∴  舍去．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

 ∴ 當(dāng)x =1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．

當(dāng)時(shí)，，即．

 ∴ 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．                ……………………6分

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052113425931253499/SYS201205211344241562938027_DA.files/image004.png">

∴      ………7分

①       當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……8分

②        當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得．                            ………10分         

③        當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，　　　∴  得

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是             …………12分

法二：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意…8分

②當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，