Question

如圖所示，設(shè)點F坐標(biāo)為 （1，0 ），點P在y軸上運動，點M在x軸運動上，其中

PM

•

PF

=0，若動點N滿足條件

PN

=

MP

（Ⅰ）求動點N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F（1，0 ）的直線l和l′分別與曲線E交于A、B兩點和C、D兩點，若l⊥l′，試求四邊形ACBD的面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出M，N，P的坐標(biāo)，求出所用向量的坐標(biāo)，聯(lián)立

PM

•

PF

=0與

PN

=

MP

，消掉M，P的坐標(biāo)可得N點的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后由弦長公式得到|AB|，設(shè)出直線l′的方程，可拋物線聯(lián)立后由弦長公式求出|CD|，代入四邊形面積公式后利用基本不等式求最值．

解答：（Ⅰ）設(shè)N（x，y ），M （x₀，0），P （0，y₀），F(xiàn)（1，0 ），
則

PM

=（x₀，-y₀），

PN

=（x，y-y₀），

PF

=(1，-y0)，
由

PM

•

PF

=0，得x₀+y02=0      ①
由

PN

=

MP

，得

PN

+

PM

=0，得（x+x₀，y-2y₀）=0，即

x+x0=0 y-2y0=0

，∴

x0=-x y0= y 2

．
代入①得，y²=4x即為所求；
（Ⅱ）設(shè)l方程為y=k（x-1），由

y2=4x y=k(x-1)

，消去x，得y²-

4

k

-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4，y1+y2=

4

k

，于是
|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 1 k2 )( 16 k2 +16)

=4+

4

k2

，
設(shè)l′的方程為y=-

1

k

(x-1)，由

y2=4x y=- 1 k (x-1)

，消去x，得y²+4ky-4=0．
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則y₃y₄=4，y₃+y₄=-4k．
∴|CD|=

1+k2

|y3-y4|=

(1+k2)[(y3+y4)2-4y3y4]

．
∴|CD|=4+

4

(- 1 k )2

=4+4k2．
于是SABCD=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

(4+

4

k2

)(4+4k2)
=8(2+k2+

1

k2

)≥8(2+2

k2• 1 k2

)=32．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了平面向量的數(shù)量積運算，考查了弦長公式的應(yīng)用及利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是能夠正確寫出對角線互相垂直的四邊形的面積，屬中高檔題．