Question

已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，動點在軸上方.

（1）若點的坐標(biāo)為是雙曲線的一條漸近線上的點，求以、為焦點且經(jīng)過點的橢圓的方程；

（2）若∠，求△的外接圓的方程；

（3）若在給定直線上任取一點，從點向(2)中圓引一條切線，切點為. 問是否存在一個定點，恒有？請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）存在

【解析】

試題分析：（1）雙曲線的左、右焦點、的坐標(biāo)分別為和，

∵雙曲線的漸進線方程為：，

∴點的坐標(biāo)為是漸進線上的點，即點的坐標(biāo)為。

∵∴橢圓的長軸長

∵半焦距，∴橢圓的方程            ..5分

（2）∵，∴，即

又圓心在線段的垂直平分線上，故可設(shè)圓心

由。∴△的外接圓的方程為     ..9分

（3）假設(shè)存在這樣的定點設(shè)點P的坐標(biāo)為

∵恒有，∴

即對恒成立。

從而，消去，得

∵方程的判別式

∴①當(dāng)時，方程無實數(shù)解，∴不存在這樣的定點；

②當(dāng)時，方程有實數(shù)解，此時，即直線與圓相離或相切，故此時存在這樣的定點；      14分

考點：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓的位置關(guān)系

點評：解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及范圍、最值、定點、定值、存在性等問題，直線與多種曲線的位置關(guān)系的綜合問題將會逐步成為今后命題的熱點，尤其是把直線和圓的位置關(guān)系同本部分知識的結(jié)合，將逐步成為今后命題的一種趨勢