Question

13．已知橢圓的中心是原點，長軸AB在x軸上，點C在橢圓上，且∠CBA=$\frac{π}{4}$，若AB=4，BC=$\sqrt{2}$，則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則a=$\frac{1}{2}AB=2$，根據(jù)BC=$\sqrt{2}$，∠CBA=$\frac{π}{4}$，求出C點坐標，代入橢圓方程即可得出b．

解答 解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
則AB=2a=4，∴a=2．∴B（2，0）．
∵∠CBA=$\frac{π}{4}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴C（1，1）．
代入橢圓方程得$\frac{1}{4}+\frac{1}{^{2}}=1$．∴b²=$\frac{4}{3}$．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法求橢圓方程，屬于中檔題．