Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）探究：是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;（2）.

【解析】【試題分析】（1）求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)為零，求出極值點(diǎn)并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）知函數(shù)的最小值為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值為零，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，從而得到.

【試題解析】

（1）依題意， ，令，解得，故，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

（2），其中，

由題意知在上恒成立， ，

由（1）可知，∴ ，

∴，記，則，令，得.

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況列表如下：

∴，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

又，從而得到.