Question

 （注意：在試題卷上作答無效）

給出定義在(0，＋∞)上的三個(gè)函數(shù)：，，，已知在x＝1處取極值.

（1）確定函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立；

（3）把函數(shù)的圖象向上平移6個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由題設(shè)，，則.      由已知，，

即.  于是，則.由，                                      

所以h(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)，在(0，1)上是減函數(shù). …………4分

（2）當(dāng)時(shí)，，即.                          

欲證，只需證，即證.       

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間(1，e2)上為增函數(shù).                

從而當(dāng)時(shí)，，即，故. ……8分

（3）由題設(shè)，.令，則

，即.                    

設(shè)，，則

，由，得x＞4.

所以在(4，＋∞)上是增函數(shù)，在(0，4)上是減函數(shù).                       

又在(0，)上是增函數(shù)，在(，＋∞)上是減函數(shù).

因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，，.

又，，，

，則函數(shù)與的大致圖象如圖：                         

由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝g(x)－h(huán)1(x)有2個(gè)零點(diǎn). ……12分