Question

（1）已知直線（t為參數(shù)），（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)時，求C₁與C₂的交點坐標(biāo)；
（Ⅱ）過坐標(biāo)原點O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點，當(dāng)α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程．
（2）已知正實數(shù)a、b、c滿足a²+4b²+c²=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）分別消去直線C₁、曲線C₂參數(shù)，Z在把α代入聯(lián)立即可得出；
（Ⅱ）由直線OA⊥直線C₁，可得出直線OA的方程，與直線C₁的方程聯(lián)立即可求出點A的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式即可求出線段OA的中點P的參數(shù)方程．
（2）（Ⅰ）利用柯西不等式即可求出；
（Ⅱ）對于滿足條件的正實數(shù)a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立?|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，利用（Ⅰ）的結(jié)論，再解出絕對值的不等式即可得出x的取值范圍．
解答：解：（1）（Ⅰ）由直線消去參數(shù)t得y=tanα（x-1），當(dāng)時，，
由曲線消去參數(shù)θ得x²+y²=1，
聯(lián)立，消去y化為2x²-3x+1=0，解得x=1或，
分別代入解得y=0，，∴或，
∴C₁與C₂的交點坐標(biāo)為（1，0），；
（Ⅱ）∵OA⊥直線C₁，∴直線OA的方程為，
聯(lián)立解得．
當(dāng)α?xí)r，由中點坐標(biāo)公式可得點P的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．
（2）（I）由柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²
又a、b、c為正實數(shù)，∴a+2b+c≤3．
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=c，即時取等號．
∴（a+2b+c）_max=3．  
（II）若對于滿足條件的正實數(shù)a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立．
則|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，
即|x-5|-|x-1|≥3．
記f（x）=|x-5|-|x-1|=，
作函數(shù)的圖象如圖所示：
由，
由圖象知，實數(shù)x滿足的區(qū)間為．
點評：熟練掌握把參數(shù)方程化為普通方程的方法、相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、柯西不等式及恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、解絕對值不等式的分類討論方法是解題的關(guān)鍵．