Question

圓心在拋物線y²=2x上，且過定點(diǎn)（2，0）的圓有最小面積，則該圓的方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)圓心的坐標(biāo)為（

m2

2

，m），由題意可得，半徑的平方r²=

m4

4

-m²+4 有最小值，求得半徑的平方r² 取得最小值時(shí)m的值，可得此時(shí)圓的方程．

解答： 解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為（

m2

2

，m），則圓的半徑的平方r²=(

m2

2

-2)2+（m-0）²．
由于圓的面積有最小值，∴半徑的平方r²=(

m2

2

-2)2+（m-0）²=

m4

4

-m²+4 有最小值，
故當(dāng)m²=-

-1

1 2

=2時(shí)，半徑的平方r² 取得最小值，此時(shí)，m=±

2

，半徑的平方r²=3，
故此時(shí)，圓心的坐標(biāo)為（2，±

2

），圓的方程為（x-1）²+(y±

2

)2=3，
故答案為：（x-1）²+(y±

2

)2=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出圓心的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．