Question

【題目】已知拋物線(xiàn)， 是焦點(diǎn)，直線(xiàn)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意直線(xiàn)．

（Ⅰ）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)， 是垂足），求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）若、兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，求證：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 ()．

直線(xiàn)CD的方程可化為． 直線(xiàn)CD恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)．

【解析】(本題滿(mǎn)分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分5分，第2小題滿(mǎn)分7分．

解 (1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為． …………………1分

∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是，直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B，

又，

∴． …………………3分

∴，化簡(jiǎn)，得． …………………5分

又當(dāng)M與原點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)l與x軸重合，故．

∴所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 ()．

(2) 設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為、． …………………………6分

∵C、D在拋物線(xiàn)上，

∴， ，即， ．

又，

∴． ………8分

∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為、，

∴直線(xiàn)CD的一個(gè)法向量是，可得直線(xiàn)CD的方程為：

，化簡(jiǎn)，得

，進(jìn)一步用，有

．

又拋物線(xiàn)上任兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不相等，即．

∴直線(xiàn)CD的方程可化為． ………………………10分

∴直線(xiàn)CD恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)． ………………………12分