Question

7．若函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0且a≠1），且在區(qū)間（0，a）上恒有f（x）＞0，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，2）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令t=2x²+x，x∈（0，a），則y=log_at，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義對(duì)a分2種情況討論：1、a＞1時(shí)，2、0＜a＜1時(shí)，每種情況下由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）的單調(diào)性，求出滿足f（x）＞0時(shí)a的取值范圍，綜合2種情況即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令t=2x²+x，x∈（0，a），則y=log_at，
分2種情況討論：
1、a＞1時(shí)，t=2x²+x在（0，a）為增函數(shù)，其t的取值范圍是（0，2a²+a）
而y=log_at也是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）在區(qū)間（0，a）上也是增函數(shù)，
分析可得不能滿足在區(qū)間（0，a）上恒有f（x）＞0，
則a＞1不滿足題意，
2、0＜a＜1時(shí)，t=2x²+x在（0，a）為增函數(shù)，其t的取值范圍是（0，2a²+a）
而y=log_at是減函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）在區(qū)間（0，a）上是減函數(shù)，
要滿足在區(qū)間（0，a）上恒有f（x）＞0，必有l(wèi)og_a（2a²+a）≥0，
即log_a（2a²+a）≥log_a1，
即2a²+a≤1，
解可得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，
又由0＜a＜1，則此時(shí)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]；
綜合可得a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，注意滿足對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的要求．