Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若四邊形的面積最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于且，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）四邊形面積最大值為，所以根據(jù)a,b,c的方程組解出（2）先設(shè)，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理以及，得，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得最后驗(yàn)證斜率不存在的情形.

試題解析：解：（1）由橢圓的離心率為知， ， ∴， ∴，

又四邊形面積最大值為， ∴， ∴，

所以橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，

由得，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，即

，

所以，原點(diǎn)到直線的距離；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則，由得，

解得，所以此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為．

綜上可知，原點(diǎn)到直線的距離為定值．