Question

18．如圖，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長為1，M是底面BC邊上的中點，

N是側棱CC₁上的點，且CN=2C₁N.

（Ⅰ）求二面角B₁—AM—N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求點B₁到平面AMN的距離。

Answer 1

本小題主要考查線面關系、二面角和點到平面距離的有關知識及空間想象能力和推理運算能力.考查應用向量知識解決數學問題的能力.

解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AM⊥BC，又AM⊥CC₁，所以AM⊥面BCC₁B₁.從而AM⊥B₁M，AM⊥NM，所以∠B₁MN為二面角B₁—AM—N的平面角.

又B₁M=，

MN=，

連B₁N，得B₁N=.

在△B₁MN中，由余弦定理得

cosB₁MN=

=

=.

故所求二面角B₁—AM—N的平面角的余弦值為.

（Ⅱ）過B₁在面BCC₁B₁內作直線B₁H⊥MN，H為垂足.

又AM⊥面BCC₁B₁，所以AM⊥B₁H.

于是B₁H⊥平面AMN，故B₁H即為B₁到平面AMN的距離.

在RT△B₁HM中，B₁H=B₁MsinB₁MH==1.

故點B₁到平面AMN的距離為1.

解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則B₁（0，0，1）M（0，，0），C（0，1，0），N（0，1，），A（－，，0）.所以，=（，0，0），=（0，－，1），=（0，，）.

因為·=×0+0×（-）+0×1=0所以⊥.同法可得⊥.

故<，>為二面角B₁—AM—N的平面角.

∴cos＜，＞=.

故所求二面角B₁—AM—N的平面角的余弦值為.

（Ⅱ）設n=（x，y，z）為平面AMN的一個法向量，則由n⊥，n⊥得

故可取n=（0，－，1）

設與n的夾角為α，則cosα=.

所以B₁到平面AMN的距離為||·|cosα|==1.