Question

【題目】省環(huán)保研究所對某市市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻 (時)的關(guān)系為,其中是與氣象有關(guān)的參數(shù),且,若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù),并記作.

(1)令.求的取值范圍;

(2)求;

(3)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2,試問目前該市市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時不超標(biāo),當(dāng)時超標(biāo)

【解析】試題分析：（1）中的函數(shù)為，它是分式函數(shù)，當(dāng)時可把其轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)，從而求出的取值范圍.注意需單獨(dú)計算.因，故（2）中需分和兩類情況討論的符號，在兩段區(qū)間上分別討論函數(shù)的單調(diào)性得到，比較的大小可以得到的表達(dá)式，最后通過解不等式得到的取值范圍，依據(jù)該范圍判斷是否超標(biāo).

解析：（1）當(dāng)時， ；

當(dāng)時， ，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，所以 ；

綜上， 的取值范圍是.

（2）當(dāng)時，記，則.

因為在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且， ， ，故.

（3）當(dāng)時，令，得，所以；

當(dāng)時，令，得，所以；

故當(dāng)時不超標(biāo)；當(dāng)超標(biāo).