Question

設(shè)f（x）定義域?yàn)镈，若滿足（1）f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)（2）存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域?yàn)閇a，b]，則稱f（x）為D上的閉函數(shù)．當(dāng)f(x)=k+

x+2

為閉函數(shù)時，k的范圍是

(-

9

4

，-2]

．

Answer 1

分析：由已知中閉函數(shù)的定義，及函數(shù)f(x)=k+

x+2

的解析式，我們可得函數(shù)滿足條件（1），即在定義域D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，若滿足條件（2）則f(x)=k+

x+2

=x在區(qū)間[-2，+∞）上有兩個根，利用換元法，可將條件轉(zhuǎn)化為t²-t-（2+k）=0有兩個非負(fù)根，結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得關(guān)于k的不等式組，進(jìn)而求出k的范圍．

解答：解：∵f(x)=k+

x+2

在定義域D=[-2，+∞）上為增函數(shù)
故滿足條件（1）
若存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域?yàn)閇a，b]，
則f(x)=k+

x+2

=x在區(qū)間[-2，+∞）上有兩個根
令t=

x+2

（t≥0）
則原方程可化為t²-t-（2+k）=0有兩個非負(fù)根
即

△=1+4(2+k)＞0 2+k≤0

解得-

9

4

＜k≤-2
故k的范圍是(-

9

4

，-2]
故答案為：(-

9

4

，-2]

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是單調(diào)性的性質(zhì)，其中正確理解新定義“閉函數(shù)”中的兩個條件的意義，是解答本題的關(guān)鍵．